Про произведение операторов

Как мы знаем в математике очень часто используются функции и операции с ними. Даже не определяя формально сложение функций, мы можем определить функцию \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) и аналогично определить произведение \((fg)(x) = f(x)g(x)\). Далее это используется там, где переменная по сути не важна, например, в интегралах и дифференциальных уравнениях. Однако, как только появляются функции нескольких переменных начинаются проблемы. Конкретно с несколькими переменными проблем нет, но есть проблема с произведением так называемых вектор-функций, потому как нет естественного способа умножать вектора. Складывать их тем не менее все еще можно. Таким образом, обобщая тот же анализ на функции нескольких переменных у нас остается только сложение. Можно пойти дальше и вместо нескольких переменных использовать функции. Получатся операторы и мы уйдем в функциональный анализ, отлично. Произведение операторов тем более не определено. Или определено? Линейные операторы в конечномерных пространствах как мы знаем соответствуют матрицам, а произведение матриц соответствует композиции соответствующих операторов. Поэтому логично считать, что произведение операторов есть композиция. Отсюда автоматически есть ассоциативность и отсутствие коммутативности. Рассматривая линейные операторы легко проверить дистрибутивность. Получили, что операторы составляют кольцо. К чему бы все это? Можно рассмотреть один дифференциальный оператор: оператор градиента, хотя его почему то называют оператором набла или del. Ну, называют и называют. Обозначают его как ∇. С помощью скалярного произведения его с собой можно получить лапласиан(сумма вторых частных производных по каждой переменной, по другому, след матрицы вторых производных). Обозначается это так: Δ = ∇ · ∇ = ∇∇^T. Работает это так: скалярное произведение это сумма произведений соответствующих координат, ∇ = (d/dx1, d/dx2, ..., d/dxn), в квадрате каждая координата дает d/dxk * d/dxk = d^2/dxk^2 и в сумме будет лапласиан. Если брать обычное произведение как векторов, то получится матрица вторых производных(гессиан), но для корректности надо транспонировать оператор: H = ∇^T∇. Теоретически J = F∇ дает якобиан, но это я не нашел на википедии. Кто занимался функциональным анализом также может помнить забавную теорему, которая заключается в том, что компактные операторы составляют двусторонний идеал в кольце непрерывных операторов.