cos(πn) revisited

Зачем нужно раскладывать в ряд из синусов константу? Затем, чтобы решить уравнение \(u_{tt} - au_{xx} = f(t, x)\), когда \(f\) не зависит от x. Тогда для нахождения решения нужно найти разложение f в ряд синусов от x, но f не зависит от x: f(t, x) = f(t), поэтому в ряд нужно разложить единицу и f(t, x) = \sum_{n=1}^\infty f(t) c_n sin(πnx) осталось найти константы c_n, не зависящие ни от t, ни от x. Поделив на f(t) обе части, узнаем, что c_n это коэффициенты при разложении единицы в ряд синусов: 1 = \sum_{n=1}^\infty c_n sin(πnx) Справа получается сумма синусов от x, которая должна как-то себя аннигилировать, но при этом дать единицу в сумме. Если задуматься(на секундочку) и, обозначив правую часть за u(x), посчитать u(0) и u(2), то оказывается u(0) = u(2) = 0. Мда, получается единица на концах отрезка должна быть не равна единице. Не расстраиваясь, говорим, что множество {0, 2} имеет меру 0 и не влияет на внутреннюю область отрезка [0, 2]. Но! Задумавшись еще раз, внимательный читатель скажет: 1) синус нечетная функция при любом n 2) сумма нечетных функций - нечетная функция 3) единица - четная функция и, кажется, что 1)&2)&3) => бред, не может быть сумма нечетных функций четной, если конечно она не четна и нечетна одновременно, то бишь 0. Но 1 != 0, мы все еще отказываемся в это верить и думаем дальше. Как говорил Джейсон Стетхем: "Если гора не идет к Магомеду, то Магомед идет к горе". По задаче разложение f нам нужно только на отрезке [0, 1], а что вне его нас мало волнует. Воспользуемся этим: доопределим единицу до нечетной функции, то есть δ = [x > 0] - [x < 0] здесь [p] = 0 если предикат p ложен, или 1 иначе. Называется обозначение Айверсона. Функция δ равна 1 на [0, 1] и нечетна! Разложим ее в ряд из синусов на [-1, 1]. Можно по аналогии разложить δ на отрезке [0, 2], но тогда для нечетности нужно еще периодично продолжить функцию, хоть это и не влияет на вычисления от слова никак. Посчитаем коэффициенты функции δ как показано на скрине. Три черточки это сравнимость по модулю, то есть слагаемые у нас будут только нечетные, поэтому можно сделать замену в последней строке. Вот мы и получили разложение в ряд из синусов единицы, если считать его только на отрезке [0, 1], теперь мы счастливы и довольны.😉👍🏻❤

Берегите себя и своих близких и не занимайтесь матфизикой.

P.S.[0]: да, это step function P.S.[0.5]: да, я настолько лох, что не смог сразу подставить циферки и просто посчитать это. P.S.[1]: как же неоч писать посты без латеха. Возможно придется пилить их на сайт.

TL;DR: https://math.stackexchange.com/questions/1699638/how-to-expand-constant-function-in-fourier-sine-series + https://mathworld.wolfram.com/FourierSeriesSquareWave.html = happiness