Эта статья скорее про идеи, которые заняли в последнее время мой мозг. Более подробное изучение темы лучше искать в соответствующих источниках, например, книгах по алгебре.

Напоминание алгебры

В алгебре есть различные общие структуры, которые позволяют разные операции и обобщаются на многие случаи. Среди таких структур рассмотрим кольца. В них разрешено сложение и умножение. В частности, здесь будем рассматривать только кольца многочленов, наподобие $\mathbb{R}[x_1,...,x_n]$, в которых есть важные свойства, а именно: существуют 0 и 1, и умножение коммутативно. Еще чуть-чуть, и это было бы поле, но делить многочлены далеко не всегда возможно.

Школьная алгебра

В школе нас учат решать так называемые "квадратные уравнения". Рассмотрим, что это такое подробнее. В данном случае у нас одна переменная и кольцо $\mathbb{R}[x]$ и берется многочлен второй степени: $f\in\mathbb{R}[x]$. Вторая степень означает, что многочлен $f$ имеет вид $ax^2+bx+c$, где $a\neq 0$. Тогда уравнение будет иметь вид $f(x)=0$ или, что то же самое:

$ax^2+bx+c=0$

Решением такого уравнения, как ни удивительно, является такой $x$, для которого это выражение превращается в тождество. Можно даже вспомнить, чему равен $x$, но это нам не очень интересно, важно что он всегда существует причем в количестве двух штук, может быть в комплексных числах. Единственный момент здесь, если $x$ единственен, например в случае $f(x)=(x-1)^2$ будет $x=1$ единственный корень, но его можно как бы считать два раза.

Обобщаем

Разобравшись с этим простейшим предметом, будем теперь обозначать такое уравнение просто как $f=0$, имея ввиду, что решением будет $x$ такой, что $f(x)=0$. Такие уравнения можно решать не только для второй степени, но и для любых многочленов до 4ой степени включительно. Уравнения же выше 4ой степени в общем случае неразрешимы в радикалах, то есть невозможно придумать для них формулу, включающую арифметические операции и корни от коэффициентов уравнения, дающие решения. Тем не менее, как уравнения, так и их решения есть, и это главное!

Помимо многочленов от одной переменной можно рассмотреть многочлены от двух переменных, то есть кольцо $\mathbb{R}[x, y]$. Их решением будет пара точек $(x, y)$, которые можно изобразить на плоскости, получая кривые разного порядка. Самыми востребованными являются кривые второго и третьего порядков, которые отвечают решениям уравнений с соответствующими степенями. Степенью многочлена в данном случае называется максимальная суммарная степень $x$ и $y$ в одном многочлене, то есть степень многочлена $x^3y+xy^2$ равна 4ем.

Далее по аналогии можно использовать произвольное конечное число переменных. Кольцом будет $\mathbb{R}[x_1,...,x_n]$.

Скрещиваем ежа и ужа

На самом деле в обозначении $\mathbb{R}[x_1,...x_n]$ никто не специфицирует, что такое $x_1,...x_n$. На самом деле это может быть что угодно, вплоть до просто символов, которые формально складывают и умножают друг на друга. Нам же интересен случай, когда $x_1,...,x_n$ это ничто иное, как дифференциальные операторы $\frac{\partial}{\partial x_1},...,\frac{\partial}{\partial x_n}$! Умножением будет, как я уже упоминал в одном из своих постов композиция. В этом случае, многочленами(то есть элементами нашего кольца $\mathbb{R}\left[\frac{\partial}{\partial x_1},...,\frac{\partial}{\partial x_n}\right]$ будут дифференциальные операторы! Например лапласиан это в точности: $\Delta=x_1^2+...+x_n^2=\sum\limits_{k=1}^nx_k^2$, что в случае обычных многочленов соответствует единичной окружности. Менее известный даламбертиан: $\Box=t^2-c^2(x_1^2+...+x_n^2)=t^2-c^2\Delta$, является многочленом в кольце, в котором одна переменная обозначается по особому, а именно в $\mathbb{R}[t,x_1,...,x_n]$. Этот оператор в случае $n=1$ соответствует гиперболе. Было бы логично привести еще и параболический оператор, раз уж начали появляться кривые второго порядка, ну что ж, вот: $T=t-c^2\Delta$.

Снова про уравнения

Что же будет в этом случае уравнением $f=0$ и его решением? Все до безумия просто: $f=0$ есть ничто иное, как уравнение в частных производных, а его решение - решение этого дифференциального уравнения. Здесь уже вместо количества корней в зависимости от степени многочлена, говорят о количестве функционально независимых корней. На самом же деле, это имеет смысл в случае одной переменной. При двух переменных, решений уже становится непомерно много, например уравнение $x=0$ имеет бесконечно много решений в виде функций, не зависящих от $x$.

В нормальном виде последний пример выглядит так. Уравнение $\frac{\partial}{\partial x}f=0$ имеет решением любую функцию $f(x, y)=f(y)$ не зависящую от $x$. Для того, чтобы определить, какое же решение из всех доступных нам нужно, ставят задачи Коши и краевые условия. Нам же будет достаточно найти любое решение.

Зная теперь такое представление о дифференциальных уравнениях, мы можем построить аналогии с стандартной теорией. Для начала рассмотрим многочлены от одной переменной, или в простонародье обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной.

Уравнения первой степени

Решением уравнения $ax+b=0$ является $x=-\frac{b}{a}$ в обычном смысле. При переходе к дифференциалам, все несколько сложнее. Единственную переменную, имеющуюся у нас будем обозначать буквой $t$.

Заметим, что многочлен нулевой степени $c$ это тоже оператор, умножающий функцию на константу. Поэтому оператор $at+b$ действует на $f$, давая $a\frac{df}{dt}+bf$, а не $a\frac{df}{dt}+b$. Тогда уравнение решаем так:

$a\frac{df}{dt}+bf=0\newline \frac{df}{dt}=-\frac{b}{a}f\newline f(t)=e^{-\frac{b}{a}t}$

Обычное линейное уравнение, решается не сложнее, чем обычное. На самом деле полученный результат очень важен в силу следующего факта. Если $f$ - многочлен степени $n$, а $t_1,...,t_n$ - его корни, тогда:

$f(t)=a(t-t_1)...(t-t_n)$

Уравнения второй степени

Несложно проверить выполнение этого равенства для многочлена из дифференциальных операторов:

$f(x)=a\left(\frac{d}{dt}x-\lambda_1x\right)\left(\frac{d}{dt}x-\lambda_2x\right)=a\frac{d^2}{dt^2}x+b\frac{d}{dt}x+cx$

Где $\lambda_1, \lambda_2$ - корни уравнения $a\lambda^2+b\lambda+c=0$, которое называется характеристическим. Заметьте, что и характеристическое и дифференциальное уравнения суть есть одни и те же уравнения, просто в разных кольцах: одно над числовыми переменными $\mathbb{R}[\lambda]$, другое над дифференциальными операторами $\mathbb{R}\left[\frac{d}{dt}\right]$.

Это знание позволит нам любое уравнение вида $a\frac{d^2}{dt^2}x+b\frac{d}{dt}x+cx$ представить в виде $a\left(\frac{d}{dt}x-\lambda_1x\right)\left(\frac{d}{dt}x-\lambda_2x\right)$ и после этого уже решить:

$f=0\newline a\left(\frac{d}{dt}x-\lambda_1x\right)\left(\frac{d}{dt}x-\lambda_2x\right)=0\newline \left\{\begin{matrix} \frac{d}{dt}x-\lambda_1x=0 \\ \frac{d}{dt}x-\lambda_2x=0 \end{matrix}\right.$

Откуда сразу же $x_1=e^{\lambda_1t}$ и $x_2=e^{\lambda_2t}$. Из теории линейности операторов следует, что и любая их линейная комбинация будет решением. А из теории дифференциальных уравнений следует, что других решений нет.

Уравнения произвольной степени

Аналогичный подход можно применить к уравнениям произвольной степени:

1. Ищем корни характеристического уравнения $c_n\lambda^n+...+c_0=0$, обозначим их $\lambda_1,...,\lambda_n$.

2. Исходное уравнение $c_n\frac{d^n}{dt^n}x+...+c_0x=0$ раскладываем на множители $c_n\prod\limits_{k=1}^n\left(\frac{d^k}{dt^k}x-\lambda_kx\right)=0$.

3. Решаем уравнения-множители по отдельности, получая $x_k=e^{\lambda_kt}$.

4. Линейные комбинации $x_k$ дают все решения.

Проблема будет с кратными корнями, но тогда если некий корень $\lambda$ повторяется $m$ раз, то ему будут соответствовать $m$ решений: $e^{\lambda t},te^{\lambda t},...,t^{m-1}e^{\lambda t}$.

Несколько переменных

В случае одной переменной, все уравнения свелись просто к соответствующим уравнениям в числах. Будет ли также с несколькими переменными?

Во-первых заметим, что, если доступно разложение на множители в обычных многочленах, то оно работает и в операторных многочленах:

$(x+y+1)(x+2y+3)=x^2+2y^2+3xy+4x+5y+3\newline \left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+1\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+2\frac{\partial}{\partial x}+3\right)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2}{\partial y^2}+3\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+4\frac{\partial}{\partial x}+5\frac{\partial}{\partial y}+3$

Раз все так удачно складывается, по аналогии встает два вопроса:

1. Всегда ли многочлен степени выше первой можно представить в виде произведения многочленов первой степени?

2. Как решать уравнения вида $a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y}+c=0$ ?

На второй вопрос ответить, очевидно, проще. Разделив переменные, и представляя решение в виде $f=e^{\alpha x}e^{\beta y}$ получим условие на константы $\alpha$ и $\beta$: $a\alpha+b\beta+c=0$. Отсюда получаем как минимум целую прямую решений.

Первый вопрос уже проблемнее. Оказывается, что многочлены с свободным членом не всегда раскладываются в линейные множители: mathexchange. В других же случаях это вполне может быть сделано, по крайней мере в случае двух переменных:

$\Delta=x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)\newline \Box=t^2-c^2x^2=(t-cx)(t+cx)$

К сожалению, оператор $T$ не раскладывается подобным образом, что не позволит решить его уравнение таким способом. Однако мы теперь можем решить уравнения $\Delta f=0$ и $\Box f=0$. Первое уравнение дает так называемые гармонические функции, второе уравнение называется волновым использующееся дли описания(шок) волн. Представив эти операторы в виде системы, как указано выше, можем найти некоторые их решения, а именно, решениями $\Delta=0$ будут $e^xe^{iy}$ и $e^xe^{-iy}$. Из линейности, эти вместо этих функций можно написать $e^x\sin(y)$ и $e^x\cos(y)$.

Решениями уравнения $\Box=0$ будут соответственно $e^{ct}e^x$ и $e^{ct}e^{-x}$ или по другому $e^{ct}sh(x)$ и $e^{ct}ch(x)$.